1. 有理數的英文 rational number 看，rational 一般的理解都是「有道理 的」，那麼，應該是什麼道理？ 從 ration 的拉丁文語源來看，它源自於拉丁語的 logos（英 文是 ratio，意思為比），拉丁文的原意是「可表達的」， 對畢氏學派而言，有理數就是分 數，意思是可表達的數。有理數是「可表達的數」，即可寫成兩個整數之比。
2. 無理數irrational number，表示「不可表達的數」， 也就是不能寫成兩個整數之比的數。 所以無理數是指「不可表達的數」。

有理數是「可表達的數」，即可寫成兩個整數之比。即可以化成最簡分數的形式 $\frac{q}{p}$ ，其中 $p,q$ 互質。例如， $\frac{12}{18}=\frac{6\times 2}{6\times 3}=\frac{2}{3}$。如果用兩個線段長來說， 表示 $12$ 和 $18$ 可以找到共同單位長 $6$ 量盡它們，我們稱之為「可公度量的」(commensurable)。反之，如果無法表示成分數形式，代表兩個線段長 無法找到共同單位長同時量盡，就稱為「不可公度量的」(incommensurable)。
例如：可公度量的說明：
給定長 $18$ cm，寬 $10$ cm的長方形紙片一張，今剪去一個最大正方形後，將剩下的長方形紙片再剪去一個最大正方形，如此繼續做， 直到剩下的的紙片是正方形才停止，則最後剩下的正方形邊長為 $2$ cm，如下圖。所以就可將 $18$，$10$ 用 $2$ 當基本單位來度量， 即 $18 = 9 \times 2$ ； $10 = 5 \times 2$：

用現在的話語來說，也就是18和10這兩個數，可以2當基本單位長來度量，所以 $\frac{18}{10}$ 是有理數。

歐幾里得《幾何原本》第十卷命題2：

如果從兩不等量的大量中連續減去小量，直到餘量小於小量，再從小量中連續減去餘量直到小於餘量，如此一直作下去， 當所餘的量永遠不能量盡它前面的量時，則兩量不可公度。

根據上面的說明，我們要來推導 $\sqrt{2}$ 與 $1$ 是不可公度量的，藉以說明 $\sqrt{2}$ 是無理數。我們將利用下面的圖形說明！

下圖(一)中 $ABCD$ 為一正方形，欲利用此圖說明 $\overline{AC}$、 $\overline{AD}$ 不可公度，即將 $\overline{AC}$、 $\overline{AD}$ 不斷的互減， 並說明兩個線段長無法找到基本單位長同時量盡，就可稱 $\overline{AC}$、 $\overline{AD}$ 為「不可公度量的」。試著看完影片後，回答下列問題：

無理數的發現(學習單)