線性變換的特性

這部教學影片主要探討平面線性變換（二階方陣 $A$）的幾何特性，並依據矩陣的行列式值（$\det(A)$）區分為以下幾種情形：

1. 行列式不等於 0 ($\det(A) \neq 0$)
   • 幾何意義：將平面對應到平面。
   • 特性：
     • 會將零向量對應到零向量。
     • 會將基準向量 $(1,0)$ 對應到第一行向量 $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$，將 $(0,1)$ 對應到第二行向量 $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$。
     • 線性組合的係數保持不變：向量 $(x,y) = x(1,0) + y(0,1)$ 會被變換為 $x\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$。
2. 行列式等於 0 ($\det(A) = 0$)
   • 非零矩陣（如 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$）：
     • 幾何意義：將整個平面對應到一條過原點的直線（降維）。
     • 特性：原本落在同一條平行線（如 $x+2y=k$）上的點或向量，經變換後都會映射到同一條直線上的特定點或向量（如 $k(1,2)$）。
   • 零矩陣（$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$）：
     • 幾何意義：將整個平面上的所有向量與點都對應到原點（零向量）。