好的數學家會是好的數學教育家嗎？

　　從六０年代的“新數學”之後，特別是從1993年開始，數學家在中、小學的數學舞台上更加積極，經常有關於學校數學的文章、主張和信件的發表。看來現在是一個很好的時間點來回顧過去十年數學家對學校數學的影響。本文思考數學家在那裡介入學校數學會有好的結果，在那裡介入會有不好的結果。

　　幾乎所有人都會同意，數學家的專業知識對於美國數學教育的改善做出重要的貢獻，如Kilpatrick(1997)所說：「美國的數學教育從著名數學家的不斷支持中獲得助益」。同樣的，幾乎所有人都相信，美國數學教育亟需改善，從國際測驗的成績來看，亦是如此。因此，數學家應與數學教育家一起合作來改善中、小學的數學教育。相反地，卻掀起一場論戰—數學戰爭，在本文中我稱數學家這一方為“傳統”(traditional)，數學教育家為“進步”(或”改革”)(progressive)。

壹、正面的影響

為什麼大多數的大學數學家及數學教育者都同意，大學數學家對於學校數學教育的潛在

貢獻很大呢？是不是因為他們的數學知識比數學教育家來得好呢？在某種程度上，縱使多數的數學教育家在數學專業知識上知道得遠比數學家少，但仍有足夠的學校數學知識來設計和實踐數學課程。我想更重要的是數學家所擁有深奧的數學知識，這使得他們對於：學校數學中什麼概念是特別重要的，及教導這些概念最好的教學策略是什麼，具備有用的洞察力。以下是數學家對於學校數學所做的貢獻：

一、課程內容

(一)Connected Mathematics Program並未包括分數的除法，引起數學家的注意後，課程發

    展者已將此概念加入。

(二)數學家建議Interactive Mathematics Program將二次公式延至12年級。

對於課程發展者而言，數學家關於該增刪什麼內容的建議是有價值的。

二、錯誤

冗長的課程文件幾乎都會出現某些數學錯誤，出版之前，請數學家看一下是有幫助的。

三、教學方法

　數學家覺得應該利用一些新奇而有用的方法來教一些特別的概念，然而，因為數學家並

不完全理解學校數學，有時這些想法是不能實行的。縱使如此，這些想法可以對數學教

育家及教師教法的改變上做些建議。另一個對於教學方法的關注是，有些教學方法因容

易實施的關係，而在學校數學中很普遍，但是卻無法達成理解基本數學的預期目標。例

如Wu批評College preparatory Mathematics 的Algebra  I (9年級)利用“罪大惡極

(infamous)”的FOIL算則處理一次多項式的乘法。雖然在單元4 已經討論分配律並連結

到a(x+b)，並告訴學生這個方法”很有威力“。當數學教育家和老師給學生一個錯的內

容或勉強算是有效或有效率的方法，其實對學生都是有害的，此時，數學家扮演一個重

要的評量角色。

四、教師的在職教育

　　雖然有人會懷疑數學家對於學校教學議題是否有足夠的理解，以便對這些議題有更多的貢獻，但沒有人會懷疑他們可以對數學教師的數學知識的改善做出貢獻。縱使這些暑假和周末的課程可能無法照顧到所有的教師；縱使課程主題（題材）無法直接應用到教學上，但課程所提供的廣度和洞察將可立即或在數年後改善教學。

五、教師的職前教育

　　另一個獲得普遍認同的事情是未來的數學教師所接受的數學教育是不適當的，事實上，在一些小學教育計劃裡，未來教師全然沒有接受到數學，甚者，即使未來教師在數學系裡被教導，他們所接受的課程不及lower-divison的數學課。大概不會有太多的人反對“大學數學系一定要把他們的學生教好”(Wu, 1999)，或更強烈一點，數學家與數學教育家“沒有幫助老師去學習他們職前所需要的數學”(Rottman,1999)。最近已有數學家與數學教育者合作嘗試去補救這個情況。

貳、負面的影響

雖然數學研究社群與大學數學教育社群的用語不像1990年代那麼惡毒，但雙方的關係

仍未改善。錯誤當然不全在其中的一邊，但是，大部分的錯誤及其所產生的苦難，是數學家社群的錯，尤其是純數數學家社群。在數學戰爭中，數學家社群對於研究以他們自己的高智力標準出發，並展現一種傲慢，而使得事情更糟。這些批評並不表示他們所持的態度必然是錯誤的或不智的，只是他們經常以很不適當的方式表示。

一、Riley的信

    如果有一個單一事件可以做為數學戰爭的縮影，那就是"給Riley的公開信"了，這封信由六位數學家簽署，219個人"背書"，大部分是卓越的數學家，少數的非數學家則是優秀的科學家，包括許多諾貝爾獎得主，(雖然名單上列了誰是什麼學會的會員、主席及得了什麼獎，但沒有一項是教學獎)這封信的要點是評論教育部的十大課程。大多數背書者事前沒看過信中的主張，他們這樣做的原因是因為他們信任發表這封信的人的主張，這實在是不值得尊敬的。和這封信形成一個有趣對比的是，1962年由65位數學家發表於American Mathematical Monthly 及The Mathematics Teacher的一封信，他們表達對新數學的關注("過去可能強調教學而犧牲內容，現在可能強調內容而犧牲教學，兩者都是無效的")。簽署的數學家知道他們在說什麼，由引述中出現兩次"可能"，可以證明他們的語言是受到約束的。可以確定的是數學家投身於數學教育的活動是相當適當的，但是，當他們使用一般政治家的技巧來做這件事，其結果真是每下愈況。

二、測驗分數

數學家將信念放在標準測驗的結果上，而不是視測驗結果為課程成功或失敗的仲裁者。

他們應該知道，有許多自由變數的實驗（即標準測驗），不可能會產生有意義的結果。這些自由變數包括：準備的時間、試題內容、教師的責任壓力等。換句話說，單從標準測驗來評量課程的價值是一件荒唐的事，當數學家使用草率的標準來判斷一個課程是否能改善數學教育，對他們身為一個清晰思考者的名聲是有害的。事實上，要判斷一個新課程的優劣，是一件非常困難的事情，除非花上數年的時間，特別地，那些強以測驗分數做為評量課程優劣的人，對整個數學教育是一大傷害。

三、計算器

數學家，特別是那些反對課程改革者，反對在小學階段使用計算器，甚至於對中學階段

使用計算器也抱持保留的態度。對數學教育家而言，關於在學校數學中使用計算器的影響並沒有決定性的證據，然而許多研究證明，使用計算器的最差狀況也不會對傳統數學的學習造成傷害，而最佳狀況則是可以促進學習。

(一)使用計算器會影響數學能力嗎？

至少25年來，美國學生在大學入學考試（如SATS）及國際測驗的成績不佳，有人歸因於中、小學階段計算器的使用，但是，即使計算器的使用是歸因之一，其所佔的份量也極微小，因為成績不佳的問題早在計算器使用之前，就已經發生了。在數學教育其他的議題上，也可以發現這樣的論辯，因為數學家習慣於使用post hoc ergo propter hoc的推理（例如："許多不好的學習效果是由於大量使用計算器的錯誤教育"）。紙筆計算教學的價值已經改變，在計算器時代之前，紙筆計算的技巧是每個成人必備的，在二十一世紀，小學階段花這麼多的教學時間在紙筆計算的技巧，只能說它的價值在於滲透對數的基本瞭解(例如位值)，或是為學生將來更進一步研究數學做準備。如果你認為傳統數學的紙筆計算是小學數學必要的部分，且小學數學教室應該禁止計算器的使用，那麼你必須提出計算器的使用會妨礙紙筆計算有效學習的理由，或者你必須提出，如果教師誤用計算器，那麼他所呈現的紙筆計算的適當教學將不會發生。

(二)長除法的問題

    一個持續爭論的議題是長除法該不該教，如果教的話，學生應該達到怎麼樣的熟練程度。這是一個重要的辯論，因為它關乎在計算器時代，學校數學裡什麼仍然是重要的。對於長除法，從應達到傳統的熟練度到不教，各種立場都有，可以理性的來辯論。但是不能理性辯論的是數學家習慣於做的，只有一個正確答案，那就是教傳統的長除法。

四、模糊數學及一個正確答案症候群

許多批評者，通常是數學家或被數學家影響的記者，或被記者影響的家長，批評倡導數

學課程改革的人在倡導“模糊數學”。數學家認為數學強調的是精確，所以課程必須是嚴謹而明確的（“一個對的課程”），這個課程的方法也必須是嚴格明確的。數學中的精確當然是很重要的，但是強調精確不必然要求所有問題只能有一個正確答案，例如：盡可能找出並解釋那些可以寫成連續自然數之和的數，如9=4+5，9=2+3+4，15=1+2+3+4+5。這個問題當然可以轉換成只有一個正確答案的問題，若果這麼做，將會失去諸如探究、臆測、辯駁、證明或解釋等特點。

五、傲慢

Wilson(2003)認為”文明的、有建設性的論述”是結束數學戰爭的一個方法，然而，”模糊數學”這個形容詞意謂著數學家在”文明的、有建設性的論述”方面，並未做很多的努力。數學家以各種不同的方式表現出對數學教育的傲慢，以下列舉兩項：

(一)數學教育中的研究

    數學家的極端主義者相信數學教育研究是矛盾修飾法(oxymoron)，例如，Andrews(2001)所說”就如這本書所描述的，事實上，數學教育低於敘述性的討論，因為它是少了謙卑的敘述性的討論”。如果謙卑在數學戰爭中是必須的，多少應該來自於數學家社群。Sharygin認為：「純數的專家通常認為學校數學是數學科學不可或缺的一部份……，這是一個嚴重的謬誤，他們在自己的領域裡擁有無庸置疑的權威和許多的知識，這些卓越的科學家時常侵犯一個他們無法勝任的大眾教育的領域；另一個謬誤是，一個好的數學家有足夠的能力去解決數學教育的問題」。這樣看來，只有像定理/證明的數學研究或是物理科學的科學方法才能使用研究這個詞。從這個觀點，教育以及社會科學所做的是幾乎都不算是研究。即使不是這麼極端的數學家也常同意一個格言："教學是藝術而不是科學"，這非常合適，因為如果教學是一種藝術，那麼任何人的見解都是同等有效的，這讓數學家關於數學教育和數學教育家有相同的立場。但是，雖然一些數學家已經長久努力地思考數學教育，但是很多人仍受制於一個 ”不確定的信念，只是因為數學家的數學好，他們也應該可以有效地呈現小學數學給那些沒有動機且無反應的大眾 ”(Clemens,1992)。

(二)數學教育家的數學證書

  許多從事改革數學計劃發展的數學教育家都擁有數學博士學位，因此，被認為能勝任學校數學，但是，Milgram(2000)認為 “主要興趣在教育問題的數學教育家和了解數學的數學家是不同的“，這真是諷刺，因為多半這些批評數學教育家的數學家在學校數學教育裡一張證書也沒有。數學家對於數學教育家的數學能力的態度常常顯示在對文件吹毛求疵的態度上，當然，找出錯誤並告知作者是有價值的，但是以吹毛求疵的態度試圖減低文件及作者的可信度是沒有價值的。如果數學家願意從事”文明的、有建設性的”評論，而不是傲慢的反譏，數學戰爭的結果才不會造成美國數學教育的傷害。

參、結論

雖然數學家在最近幾年對於數學教育有一些正面的貢獻，但數學研究社群浪費了一個對美國數學教育有意義、有正面影響的機會。太多人使用”廣泛而無目的的取向”，也就是以”無事實根據的主張和任意的軼事趣聞”的形式，當他們積極從事數學教育時，沒有帶進自己專業工作的高標準。

    未來數學家如何對數學教育做出更正面的貢獻呢？最重要的方法是看待自己的角色為數學教育家的同僚及數學教育工作有建設性的評論者。另外，那些對中、小學數學教室沒有什麼經驗的數學家，對於學校數學應該學習得更謙虛，因為他們在大學教室的經驗，跟中、小學教育是不太相關的。另一個方法是招募更多有智能的人來教數學，而不是去攻擊課程事務。總的來說，數學家透過他們的傲慢繼續惡化美國的數學教育，而且在可預見的未來，並沒有好轉的跡象。