Version :China-Taipei(ROC)

　

第二天

1997年7月25日

　

每題七分；作答時間共4.5小時

  1. 一個n×n的矩陣（正方形陣列）稱為一個n階『銀矩陣』，如果它的元素取自集合S＝{1,2,….2n-1}且對於每一個i＝1,2,…,n，它的第i列與第i行中的所有元素合起來恰好是S中的所有元素。

證明：(a)不存在n＝1997階的銀矩陣。

(b)有無限多個n的值，存在n階銀矩陣。

　

5.試求出滿足下列等式的所有正整數對 (a,b) (a 1,b 1)

a＝b。

　

　

  1. 對於每個正整數n，將n表示成2的非負整數次方之和。令f(n)為正整數n的上述不同表示法的個數。如果兩個表示法的差別僅在 於它們中各個數相加的次序不同，這兩個表示法就被視為是相同 的。例如，f(4)＝4，因為4恰有下列四種表示法：4；2＋2；

2＋1＋1；1＋1＋1＋1。

證明：對於任意整數n 3，

　

2＜f(2)＜2。