Version :China-Taipei(ROC)

　

第一天

1997年7月24 日

　

每題七分；作答時間共4.5小時

  1. 在坐標平面上，具有整數坐標的點構成單位邊長的正方格的頂點。這些正方格被塗上黑白相間的兩種顏色（正如西洋棋盤一樣）。

對於任意一對正整數m和n，考慮一個直角三角形其頂點具有整數坐標，兩股長分別為m和n，且其兩股都在這些正方格的邊上。

設S為這個三角形區域中所有黑色部分的總面積，S則為所有白色部分的總面績。令

f(m,n)=| S- S|

  1. 當m和n同為正偶數，或同為正奇數時，計算f(m,n)的值。

  2. 證明：f(m,n)max{m,n}，對所有m,n都成立。

  3. 證明：對於每一個常數C，存在m,n，

使得f(m,n) < C不會成立。

　

　

  1. 三角形ABC中，∠A是最小的內角。兩點B和C將此三角形的外接圓分成兩個弧。設U為落在不含A點的弧上且異於B與C的一點。線段與 的垂直平分線，分別交線段
於V與W。直線BV與直線CW相交於T。證明：AU＝TB＋TC。

　

  1. 設x,x,…,x
為滿足下列條件的實數：

| x＋x＋…＋x|＝1

且

| x|；i＝1,2,…n。

證明：存在x,x,…,x的一個排� Cy,y,…y使得

|y＋2y＋…＋ny|。