教育關懷

    根據多年來在很多場合 -- 包括台灣師大數學系所『數學史』課程、數學教師暑期進修班、數學教師短期講習班，以及應邀為初、高中數學教師演講 -- 討論HPM課題時，筆者總是再三強調在課堂上，教師運用數學史至少可以分成三個層次： 

 1) 說故事，對學生的人格成長會有啟發作用； 
 2) 在歷史的脈絡中比較數學家所提供的不同方法，拓寬學生的視野，培養全方  位的認知能力 
    與思考彈性； 
 3) 從歷史的角度注入數學知識活動的文化意義，在數學教育過程中實踐多元文  化關懷的理 
    想。 

至於運用之妙，當然存乎教師個人的慧心了。不過，筆者也一直被要求針對這些HPM課題，提供範本或手冊。本文之作，用在拋磚引玉，讀者萬勿照本宣科才是。 

    關於第一層次，很多人直覺地認為『數學史』就等於數學故事。不錯，教師說說故事提振學生的上課情緒，尤其是在夏日午後正好眠時，數學家或數學界的遺聞軼事，大概都可以達到提神醒腦的作用。在台灣師大就讀時曾修過『數學史』課程的教師，都一再向筆者表示她 / 他們的學生實在太愛聽故事了，簡直叫人窮於應付。事實上，數學家故事對學生的人格鼓舞與啟發尤其值得我們重視。譬如說吧，十八世紀法國女數學家蘇菲 姬曼（Sophie Germain, 1776-1831），就是受到阿基米德（Archimedes）故事的『煽動』，迷上數學而終生無怨無悔。她童年時正值法國大革命發生，為了排遣難耐的孤獨與寂寞，遂被數學史家莫度西亞（J. E. Montucia）的【數學史】所記載的阿基米德傳奇所吸引。相傳阿基米德正沈醉在一道幾何問題時，對已經陷城的羅馬士兵渾然未覺，就莫名其妙被殺死了。這個悲劇讓百無聊賴的蘇菲神醉心痴，她想幾何學若真有這種魅力，那真地值得探索一番了。於是，她終於走上數學研究的不歸路了。 

    讓我們再提供另一個女數學家的故事。十九世紀俄國女數學家桑雅 卡巴列夫斯基（Sonya Kovalevsky, 1850-1891），多才多藝、文理兼美，在數學上她固然成就非凡，而在十九世紀俄國文壇杜斯妥也夫司基、普希金等大師輩出的年代裡，在文學方面她也著作甚豐，頗富盛名，真是讓我們見識到數學家甚少為人所知的一面。同時，她雙方面的成就也告訴我們：原來數學研究與文學想像力並不相悖，而是正好可以相輔相成。事實上，正如桑雅的偉大師傅卡爾 外爾斯特拉斯（Karl Weierstrass, 1815-1897 ）的洞見：「傑出的數學家不可能不是心靈上的詩人」，數學與文學一樣，它是一門需要大量想像力的學問。針對她自己在數學與文學之間的隨意轉換，桑雅的自白是很值得轉述的： 
 

對我來說，詩人只是感知了一般人所沒有感知到的東西，他們看得也比一般人  深。其實數學家所作的不也是同樣的事嗎？就我自己來說吧! 我這一輩子始終無 法決定到底哪個偏好較大些，是數學呢？還是文學？只要我的心智逐漸為純抽  象的玄思所苦，我的大腦就會立即偏向人生經驗的省察，偏向一些美好的文藝  作品；反之，當生活中的每一樣事開始令我感到無聊且提不起勁來時，只有科  學上那些永恆不朽的律則才能吸引的興緻。

    就『說故事』的實施來說，教師有沒有一點從容的心情或『雅興』，絕對是主要關鍵。也就是說，教師只要平時喜歡閱讀數學家傳記，然後在課堂上多加練習，久而久之大概就可以出口成章了。這種『雅興』嚴格說來無關數學或數學史『素養』! 然而，如果我們希望教師在課堂上運用數學史時可以提升到第二層次，那麼，她 / 他們擁有一點數學史的專業修養，就變得不可或缺了。 

    筆者身為專業數學史家，為了強調上述這種HPM的特殊關懷不是所謂的『老王賣瓜』，在很多場合演講時，筆者總喜歡以畢氏定理的三個證法為例，來說明數學原典（或文本 text）上的記載，對學生的人格薰陶、認知啟發以及（多元）文化關懷，如何可以帶來深刻的影響。按照歷史順序，第一個方法當然必須是古希臘歐基里得（Euclid）【幾何原本】（The Elements）第一冊命題47，這即是所謂的『面積證法』，至於筆者所選擇的版本，則是徐光啟、利瑪竇（Matteo Ricci）所翻譯、出版的明刊本（1607年）（參考圖一）。第二個是古中國三國時代趙爽註解【周髀算經】所提供的『弦圖證法』（參考圖二）。第三個證法也出自【幾何原本】，是該書第六冊命題31。根據Proclus的說法，這才是歐基里得的原創性貢獻，由於它是關於相似形的定理（事實上，第六冊討論的題材都是相似形），它的的證法也因此運用了相似三角形的比例性質，於是被稱為『比例證法』。我們提供的圖形也是出自前述的明刊本（參考圖三）。 

    在簡介了這三種證法之後，筆者通常會要求聽眾（教師或學生）表態，請她 / 他們挑選一個最愛。結果，聽眾大都會表示最喜歡第二個證法，因為它比較直觀 -- 事實的確如此，但也可能是由於文化的親和力使然。接著，筆者會說明『數學證明』（mathematical proof）的功能，及其在教學、學習上應該扮演的角色。在這個前提下，筆者進一步督促聽眾『對比』這三個證法之間的異同，並強調它們在認知啟發上的重要性。 

    我們相信如果教師善用這種教學策略，學生一定有機會培養全方位的認識能力與思考彈性。至於真正的成效如何，當然還有待教育研究。不過，教師要想進行實驗，則起碼的數學文本解讀以及比較史學的初步修養，都是必要的數學史功夫，千萬馬虎不得。 

    另一方面，在第二個層次時，筆者已經刻意地鼓勵學生針對數學知識進行反省。一旦她 / 他們認為數學除了可以而且必須『做（或學著『做』）』之外，原來也可以『鑑賞』! 如此一來，教師或學生或有可能逐漸體會：數學是某脈絡中的一種知識活動（mathematics in context），亦即它也擁有豐富的歷史文化向度（或維度 dimension）。所以，學會了數學，不僅我們的生活經驗得以強化，同時，我們的文明品味也得以提升 -- 尤其，我們也可以在這樣的教學設計中，分享世紀末最令人矚目的『多元文化關懷』。如果教師有機會與學生分享數學的文化意義，那麼，HPM的最終關懷乃至於數學教育的理想，也一定可以實現。這也正是我們上文所說的數學史運用的第三層次。有關這一方面的課題，我們可以論述得更深入一點，不過，這立刻會涉及更專門的數學文化史（cultural history of mathematics）或數學社會史（social history of mathematics），且讓我們以後再一一深入說明。 
 

參考文獻 

Fauvel, John and Jan van Maanen, "The Role of the History of Mathematics in the 
   Teaching and Learning of Mathematics: Discussion Document for an ICMI Study 
   (1997-2000)," Mathematics in School 26 (3): 10-11. 

Furinghetti, Fulvia, "History of Mathematics, Mathematics Education, School 
   Practice:  Case Studies in Linking Different Domains," For the Learning of 
   Mathematics 17 (1)  (February 1997): 55-61. 

Kool, M., "Dust Clouds from the Sixteenth Century," The Mathematics Gazette 76 
   (475):  90-96. 

Osen, Lynn, 【女數學家列傳】（彭婉如、洪萬生中譯），九章出版社，1998。 
 

    一九九八年四月二十到二十五日，筆者應邀前往法國馬賽的Luminy大學參加由HPM研究群(International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics)所主辦的一個國際會議 -- "HPM Luminy Meeting"。會議場所設在法國數學會（SMF，Societe Mathematique de France）所屬的CIRM（Centre International de Rencontres Mathematiques），緊鄰的是CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique) 所屬的一所教師研習中心。這個會議有來自三十個國家共七十位學者參加，目的是研商如何共同寫作這一本書 -- ICMI Study: The roles of the history of mathematics in the teaching and learning of mathematics。本書預定公元2000年八月初第九屆國際數學教育會議(ICME-9)舉行前由Kluwer Publishing Co. 出版，希望可以為HPM的研究主題整合出一個規格(format)來。

    更明確地說，這本書的功能是：1) 綜覽並且評價整個HPM學門的現況；2) 為教師、研究者以及涉及課程發展的專家學者提供資源與借鑒；3) 指出未來研究的方向與進路；4) 為那些打算在教學法中引進歷史的教育決策者提供指引與資訊。為此，John Fauvel（HPM上一任主席）及Jan van Maanen（HPM現任主席）特別在會前先草擬了本書的目次如下（括弧內的A's，B's 表示工作小組的代號）：

 Part 1  Political framework (A1)
 Part 2  Cultural framework (B3)
 Part 3  Student framework (A3, A4, A5, A6)
    3.1 Research on classroom delivery of historical dimension (A3)
    3.2 Research on history of mathematics for trainee teachers (A4)
    3.3 Research on development of students' understanding (A5)
    3.4 Research on history for special educational needs (A6)
 Part 4  Classroom framework (A2, B1, B2)
    4.1 Analytical survey of ways of using history in the classroom (A2)
    4.2 Detailed analysis and consideration of using original sources (B1)
    4.3 Survey of historical support for particular topics (B2)
 Part 5  Resource framework (B5, B6)
    5.1 Non-standard resources (multimedia, instruments, www) (B5)
    5.2 Bibliographical resources (B6)

每一位與會的七十位學者至少參加兩個工作小組，然後在長達五天的會議中，每個小組都各有10小時的熱烈討論，最後則分配工作。筆者參加了A2, B2的討論，最後當然也被分配了一個寫作題目，亦即：如何在課堂上引進畢氏定理的幾個不同數學傳統的證明，並說明它們的認知意義。

    本次會議的特色之一，是提交會議的論文，多數在與會者赴馬賽前即已由主辦單位寄到。所以，與會者在第一天開會時，情緒就十分高昂，因為大家已經對自己與其他學者可能作出的貢獻了然於胸。值得一提的是，在這種場合，學術素養（譬如數學、數學史等等）表現最好而且態度最積極的，除了英國、法國、荷蘭的學者之外，也有一些來自數學小國（如希臘、丹麥、拉托維雅）的學者。譬如說吧，丹麥已退休的數學教育專家Tokil Heiede就展示一套該國的中學數學教科書，讓我們赫然發現數學史並非外加，而根本是數學內容的一部份 -- 其實該書主編正是丹麥頗富盛名的女數學史家Kirsti Andersen。當筆者請教Tokil Heiede萬一老師不能適應這種教材時怎麼辦？這樣的課程改革不是很基進（radical）嗎？Tokil Heiede回答得十分乾脆："No, no, what do you mean by radical?  It is a law!" 

    至於亞洲與會者中除了筆者外，有兩位來自日本（為ICME-9 2000 Tokyo作準備），有三位來自香港（蕭文強與他的兩位學生，馮振業與列治佳），以及一位來自中國的張奠宙（國際數學教育委員會ICMI的國家代表）。這幾位華人與筆者都是舊識，蕭文強是任教港大的專業數學家，在HPM的專題上頗有著述。張奠宙任教於上海華東師大數學系，除了關心數學教育外，對於中國現代數學史也頗有心得，他向筆者談及中國大陸的數學史家（包括一些在師範大學任教的教授）大都無瑕顧及HPM，言下不勝歔歔。

    事實上，參加本次大會的專業數學史家除了Fauvel，van Maanen與筆者之外，就還包括了法國的Christian Houzel，德國的Hans Niels Jahnke與Gert Schubring等等。我們都相信數學史家在研讀典籍或文本（text）時，往往因為多了教育的關懷，而得以提出其他有趣的歷史問題。譬如說吧，從HPM觀點來進行Euclid對比劉徽的比較史學研究時，我們的確可以更具體地把握中國傳統數學的風格與精神。在數學教育的脈絡下考察華蘅芳（1833-1902）的【學算筆談】，我們也可讀出他在學習西算時，認知結構所經歷的挫折與掙扎。即以中國明代算學家唐順之、顧應祥無法理解宋元『天元術』為例，我們也可以因為現代學童對符號代數（symbolic algebra）的類似學習困擾，而賦以『同情的了解』，同時也對明代中國數學沒落的內在原因，多了一個觀照的角度。總之，HPM關懷對專業的數學史研究，絕對是積極且正面的（反之亦然），值得關心數學教育研究的學者專家好好地倡導與支持。這是1996年筆者前往葡萄牙參加HPM 96 Braga時，頗為成功分享的一個最重要的數學史研究心得。或許正是如此，Fauvel與van Maanen才會邀請筆者負責承辦HPM 2000 Taipei。

    此次馬賽HPM，筆者原來並不打算參加，Fauvel與van Maanen也因為體諒筆者家庭變故，而不敢相擾。直到筆者聲明仍然願意承擔HPM 2000 Taipei研討會的任務時，才積極遊說筆者務必前往，以便進一步商量研討會細節。我們初步決定HPM 2000 Taipei將於公元2000年八月9-14日在台灣師範大學舉行，主題如下：

 1) History of Asian and Pacific mathematics
 2) Mathematics education before 1800
 3) The effectiveness of history in teaching mathematics: 
    empirical studies
 4) East and West, contrast and transfer of mathematical ideas
 5) The recommendations made in the ICMI–Study Book

屆時預計有一兩百位各國學者與會，我們很希望國內也有數目相當的學者、專家及中小學教師參加，好好地展現我們在這一方面的實力。

    基於此，筆者期待國科會與教育部在未來幾年內大力支持HPM及其相關議題（譬如科學史與科學教育之關聯）的研究。到時候只要我們端得出『豐盛的菜單』來，不怕我們主導不了HPM相關議題的品味。其實只要有心，在國際學界的發言位置也不是那麼遙不可及，當然，將台灣的學術研究國際化，絕對是先決條件。有志之士，盍興乎來!

參考文獻

Fauvel, John et al., 1997. "The Role of the History of Mathematics in the 
   Teaching and Learning of Mathematics: Discussion for an ICMI Study 
   (1997-2000)," BSHM Newsletter 33: 46-53.  
Horng, Wann-Sheng 1993. "Hua Hengfang (1833-1902) and His Notebook on 
   Learning  Mathematics -- Xue Suan Bi Tan," Philosophy and the History of
   Science: A Taiwanese Journal 2(2): 27-76.
洪萬生 1996. 『數學史與代數學習』，【科學月刊】27 (7): 560-567。
Horng, Wann-Sheng, "Euclid versus Liu Hui: A pedagogical reflection," to 
   appear in  Victor Katz ed., Using History of Mathematics in Teaching 
   Mathematics, Washington: MAA.